Penalaran Ketidakpastian

Ketidakpastian

        Ketidakpastian merupakan suatu permasalahan karena mungkin menghalangi kita membuat suatu keputusan yang terbaik. Ketidakpastian dapat dianggap sebagai suatu kekurangan informasi yang memadai untuk membuat suatu keputusan. Teori-teori yang berhubungan dengan ketidakpastian yaitu :
• Probabilitas Klasik
• Probabilitas Bayes
• Teori Hartley yang berdasarkan pada himpunan klasik
• Teori Shanon yang didasarkan pada peluang
• Teori Dempster-Shafer
• Teori Fuzzy Zadeh

Teorema Bayes

Dinamakan Teorema Bayes karena ditemukan oleh Thomas Bayes Teorema Bayes kebalikan dari probabilitas kondisional P(A|B) atau disebut posteriori probability, dimana dalam teorema Bayes : state probabilitas dari kejadian awal diberikan untuk melihat kejadian yang mungkin akan terjadi kemudian.

Bentuk umum Teorema Bayes :
P(Hi|E) = P(EÇHi)
P(EÇHj) = P(E|Hi) P(Hi)
P(E|Hj) P(Hj) = P(E|Hi) P(Hi)
P(E)

Faktor Kepastian

Faktor kepastian merupakan cara dari penggabungan kepercayaan (belief) dan ketidapercayaan (unbelief) dalam bilangan yang tunggal. Dalam certainty theory, data-data kualitatif direpresentasikan sebagai derajat keyakinan (degree of belief).

Tahapan Representasi Data Kualitatif

Tahapan dalam merepresentasikan data-data kualitatif :

1. Kemampuan untuk mengekspresikan derajat keyakinan sesuai dengan metode yang sudah dibahas sebelumnya. 
2. Kemampuan untuk menempatkan dan mengkombinasikan derajat keyakinan tersebut dalam sistem pakar.

Dalam mengekspresikan derajat keyakinan digunakan suatu nilai yang disebut certainy factor (CF) untuk mengasumsikan derajat keyakinan seorang pakar terhadap suatu data.
Formulasi Certainy Factor

Dimana :

CF = Certainy Factor (faktor kepastian) dalam hipotesis H yang dipengaruhi oleh fakta E.
MB=Measure of Belief (tingkat keyakinan), adalah ukuran kenaikan dari kepercayaan hipotesis H dipengaruhi oleh fakta E.
MD=Measure of Disbelief (tingkat ketidakyakinan), adalah kenaikan dari ketidakpercayaan hipotesis H dipengaruhi fakta E.
E = Evidence (peristiwa atau fakta).
H = Hipotesis (Dugaan).

Teori Dempster-Shafer

Teori Dempster-Shafer adalah suatu teori matematika untuk pembuktian berdasarkan belief functions and plausible reasoning (fungsi kepercayaan dan pemikiran yang masuk akal), yang digunakan untuk mengkombinasikan potongan informasi yang terpisah (bukti) untuk mengkalkulasi kemungkinan dari suatu peristiwa. Teori ini dikembangkan oleh Arthur P. Dempster dan Glenn Shafer.

Secara umum Teori Dempster-Shafer ditulis dalam suatu interval:
[Belief,Plausibility]

Belief
Belief (Bel) adalah ukuran kekuatan evidence (gejala) dalam mendukung suatu himpunan bagian. Jika bernilai 0 maka mengindikasikan bahwa tidak ada evidence, dan jika bernilai 1 menunjukan adanya kepastian.

Plausibility
Plausibility (Pl) dinotasikan sebagai:
Pl(s)= 1 – Bel(¬­­­­­­­­­s)­­­­­­­
Plausibility juga bernilai 0 sampai 1. Jika kita yakin akan –s, maka dapat dikatakan bahwa Bel(¬s)=1, dan Pl(¬s)=0. Plausability akan mengurangi tingkat kepercayaan dari evidence. Pada teori Dempster-Shafer kita mengenal adanya frame of discernment yang dinotasikan dengan θ dan mass function yang dinotasikan dengan m. Frame ini merupakan semesta pembicaraan dari sekumpulan hipotesis sehingga disebut dengan environtment.
Misalkan: θ = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}
Dengan :
A = Gagal Ginjal Kronik
B = Kanker Ginjal
C = Pielonefritis
D = Sindroma Nefrotik
E = Hidronefrosis
F = Kanker Kandung Kemih
G = Ginjal Polikista
H = Nefritis Tubulointerstisialis
I = Sistitis
J = Infeksi Saluran Kemih
Mass Function

Sedangkan mass function (m) dalam teori Dempster-Shafer adalah tingkat kepercayaan dari suatu evidence measure sehingga dinotasikan dengan (m). Untuk mengatasi sejumlah evidence pada teori Dempster-Shafer menggunakan aturan yang lebih dikenal dengan Dempster’s Rule of Combination.

Dengan :
m1 (X) adalah mass function dari evidence X
m2 (Y) adalah mass function dari evidence Y
m3(Z) adalah mass function dari evidence Z
κ adalah jumlah conflict evidence

Sumber
http://randomblog1289.blogspot.co.id/2017/01/penalaran.html

Inferensi dalam logika order pertama

Definisi Proposisi
            Proposisi adalah pernyataan tentang hubungan yang terdapat di antara subjek dan predikat. Dengan kata lain, proposisi adalah pernyataan yang lengkap dalam bentuk subjek-predikat atau term-term yang membentuk kalimat. Kaliimat Tanya,kalimat perintah, kalimat harapan,dan kalimat inversi tidak dapa disebut proposisi. Hanya kalimat berita yang netral yang dapat disebut proposisi. Tetapi kalimat-kalimat itu dapat dijadikan proposisi apabila diubah bentuknya menjadi kalimat berita yang netral.
Jenis-Jenis Proposisi
Proposisi dapat dipandang dari 4 kriteria, yaitu berdasarkan :
• Berdasarkan bentuk
Berdasarkan bentuk dapat dibagi menjadi 2, yaitu :
 Tunggal adalah proposisi yang terdiri dari satu subjek dan satu predikat atau hanya mengandung satu pernyataan.
Contoh :
o Semua petani harus bekerja keras.
o Setiap pemuda adalah calon pemimpin

 Majemuk atau jamak adalah proposisi yang terdiri dari satu subjek dan lebih dari satu predikat.
Contoh :
o Semua petani harus bekerja keras dan hemat.
o Paman bernyanyi dan menari.
Modus Ponen
Modus ponen adalah salah satu cara pengambilan kesimpulan (argumentasi) yang paling sederhana dan dibenarkan secara kaidah logika dan mungkin adalah yang paling sering kita gunakan. Dia bekerja berdasarkan premis kalimat majemuk jika p maka q.
Contoh :
Premis1 : Hewan Mamalia Bernafas dengan paru-paru
Premis2 : Hewan ini adalah hewan mamalia
Kesimpulan : Hewan ini  bernafas dengan paru-paru
Modus ponen ini sangat dekat dengan motode deduktif yang akan dibahas nanti. Dalam contoh di atas, karena kita tahu bahwa ikan paus adalah hewan mamalia, maka melalui deduktif kita bisa simpulkan ikan paus juga bernafas dengan paru-paru. Lebih detilnya silakan baca artikel berikut
Unifikasi
Unifikasi adalah usaha untuk mencoba membuat dua ekspresi menjadi identik (mempersatukan keduanya) dengan mencari substitusi-substitusi tertentu untuk mengikuti peubah-peubah dalam ekspresi mereka tersebut. Unifikasi merupakan suatu prosedur sistematik untuk memperoleh peubah-peubah instan dalam wffs. Ketika nilai kebenaran predikat adalah sebuah fungsi dari nilai-nilai yang diasumsikan dengan argumen mereka, keinstanan terkontrol dari nilai-nilai selanjutnya yang menyediakan cara memvalidasi nilai-nilai kebenaran pernyataan yang berisi predikat. Unifikasi merupakan dasar atas kebanyakan strategi inferensi dalam Kecerdasan Buatan. Sedangkan dasar dari unifikasi adalah substitusi.
Suatu substitusi (substitution) adalah suatu himpunan penetapan istilah-istilah kepada peubah, tanpa ada peubah yang ditetapkan lebih dari satu istilah. Sebagai pengetahuan jantung dari eksekusi Prolog, adalah mekanisme unifikasi.
Aturan-aturan unifikasi :
1. Dua atom (konstanta atau peubah) adalah identik.
2. Dua daftar identik, atau ekspresi dikonversi ke dalam satu buah daftar.
3. Sebuah konstanta dan satu peubah terikat dipersatukan, sehingga peubah menjadi terikat kepada konstanta.
4. Sebuah peubah tak terikat diperssatukan dengan sebuah peubah terikat.
5. Sebuah peubah terikat dipersatukan dengan sebuah konstanta jika pengikatan pada peubah terikat dengan konstanta tidak ada konflik.
6. Dua peubah tidak terikat disatukan. Jika peubah yang satu lainnya menjadi terikat dalam upa-urutan langkah unifikasi, yang lainnya juga menjadi terikat ke atom yang sama (peubah atau konstanta).
7. Dua peubah terikat disatukan jika keduanya terikat (mungkin melalui pengikatan tengah) ke atom yang sama (peubah atau konstanta).
Forward Chaining
Forward chaining merupakan metode inferensi yang melakukan penalaran dari suatu masalah kepada solusinya. Jika klausa premis sesuai dengan situasi (bernilai TRUE), maka proses akan menyatakan konklusi. Forward chaining adalah data-driven karena inferensi dimulai dengan informasi yang tersedia dan baru konklusi diperoleh. Jika suatu aplikasi menghasilkan tree yang lebar dan tidak dalam, maka gunakan forward chaining.
Contoh :
Terdapat 10 aturan yang tersimpan dalam basis pengetahuan yaitu :
R1 : if A and B then C
R2 : if C then D
R3 : if A and E then F
R4 : if A then G
R5 : if F and G then D
R6 : if G and E then H
R7 : if C and H then I
R8 : if I and A then J
R9 : if G then J
R10 : if J then K
Fakta awal yang diberikan hanya A dan E, ingin membuktikan apakah K bernilai benar. Proses penalaran forward chaining terlihat pada gambar dibawah :

Gambar Forward Chaining
Backward Chaining
Menggunakan pendekatan goal-driven, dimulai dari harapan apa yang akan terjadi (hipotesis) dan kemudian mencari bukti yang mendukung (atau berlawanan) dengan harapan kita. Sering hal ini memerlukan perumusan dan pengujian hipotesis sementara. Jika suatu aplikasi menghasilkan tree yang sempit dan cukup dalam, maka gunakan backward chaining.


Contoh :
Seperti pada contoh forward chining, terdapat 10 aturan yang sama pada basis pengetahuan dan fakta awal yang diberikan hanya A dan E. ingin membuktikan apakah K bernilai benar. Proses penalaran backward chaining terlihat pada gambar berikut :

Gambar Backward Chaining
Sumber
http://gofagofaa.blogspot.co.id/2016/12/inferensi-dalam-logika-order-pertama.html

CONTOH KECERDASAAN BUATAN (ARTIFICIAL INTELLIGENCE) PADA PERMAINAN GAME LOGIC WOLD , SHEEP AND VEGETABLE

Nama  : Fransisco

Npm : 14114371

Kelas : 3KA10

MATA KULIAH : Peng.Teknologi Sistem Cerdas

1.        Instalasi Permainan

   

Instalasi permainan ini cukup mudah. Download pada alamat :

http://www.download-game-gratis.com/2014/07/wolf-missioneries-game-asah-logika.html

Game ini termasuk dalam ketegori game flash dan game portable. Kamu bisa memainkannya secara online. Klik link download untuk memainkannya secara online. Tapi jika kamu ingin menyimpannya di komputer kamu sebagai oleh-oleh, gampang saja. Klik download terlebih dahulu, terus Save As halaman browser kamu (CTRL + S). Itu akan menyimpan game flash yang satu ini.

2. Penjelasan Permainan

Di game ini, menceritakan seorang petani yang ingin menyebrangkan sayuran hasil panen dan sekaligus domba peliharaannya. Tetapi tidak semudah itu, ada serigala yang berada di belakang domba siap memakan domba milik petani tersebut jika petani meninggalkannya ke sebrang. Kemudian, jika domba ditinggal sendiri bersama kubisnya maka domba akan memakan sayuran tersebut.Petani tersebut menyebrang dengan sebuah perahu di sana yang digunakan untuk menyeberang.

Kelihatannya mudah, Tapi tidak semudah itu.coba bagaimana cara nya supaya bisa pindah ke sebrang tanpa ada yang termakan. Dengan aturan sebagai berikut:

Perahu hanya bermuatan 2 tempat .

Perahu  tersebut bisa di naiki dengan bebas sesuai muatan yang ada . Seperti petani dengan sayuran, petani dengan domba atau petani dan serigala.

Jika salah membawa maka pasti ada yang termakan,jika petani membawa sayuran pasti domba di makan serigala, begitu juga kita bawa serigala pasti domba memakan sayuran Jadi usahakan, supaya setiap  yang petani bawa tidak salah.

3. Cara melakukan permainan

   Mulai bermain

Cara menyelesaikannya yaitu :

    1.      Sebrangkan domba 

     2.      Setelah di sebrang, keluarkan dombanya lalu nyebrang lagi

   3.      Sebrangkan sayuran 

    4.      Setelah di sebrang, Keluarkan sayurnya masukkan dombanya lalu nyebrang lagi

     5.      Keluarkan dombanya, masukkan serigala, nyebrang lagi

    6.      Keluarkan serigala, nyebrang lagi

   7.      Masukkan dombanya, nyebrang lagi lalu keluarkan

 8.Misi nya Terselesaikan 

4.        Fungsi

            Fungsi dari permainan tersebut merupakan permainan untuk melatih otak dan pikiran  dalam mengatur strategi yang baik dalam penyelesaian masalah.

Fungsi dari permainan ini bertujuan untuk otak,pikiran dan IQ kita supaya dapat berkerja lebih baik lagi.

Aplikasi tersebut supaya berguna pada yang menggunakan nya untuk melakukan strategi atau taktik yang sebaik mungkin,supaya di saat kita di perhadapkan pada posisi yang sulit kita bisa dapat berfikir strategi atau taktik yang akan kita gunakan  agar terselesaikan dengan mudah.aplikasi permainan tersebut terlihat simple tapi berguna untuk di anak2 atau pun dewasa karena aplikasi permainan tersebut bersifat mendidik dan menggerakan otak kita supaya berfikir.

 5.        Kegunaan

           Kegunaan dari aplikasi permainan tersebut memiliki peran yang baik pada masyarakat  dengan menggunakan AI (ARTIFICIAL INTELLIGENCE) di bidang pendidikan dan pembelajaran melalui game, namun tidak hanya itu saja, dengan ada nya contoh dari game tersebut banyak sekali seseorang mengembangkan supaya taktik atau pola pikir kita bisa lebih bekerja lagi.

 6.      Kekurangan

Di Aplikasi permainan tersebut terlihat jelas kekurangan nya,berikut ini beberapa kekurangan pada game tersebut :

1.     Tampilan Grafik  yang kurang.

2.      Tampilan yang kurang atraktif.

3.      Level permainan yang hanya 1 level saja.

4.      Tidak ada nya visual studio nya.

      7.      Kelebihan

Memliki kemampuan untuk memecahkan masalah yang kompleks,mudah digunakan, simpel, dan menyenangkan. Dapat digunakan untuk pembelajaran siswa siswi yang berada di tinggkat menengah maupun pengguna yang ingin mengetes kemampuan berfikir simpel. Karena aplikasi ini dibuat terlihat sulit tetapi solusi keluarannya yang mudah. Permainan ini dapat didownload dan digunakan dengan free.

      8.     Daftar Pustaka

·         http://informatikalen.blogspot.co.id/2014/11/cara-menyelesaikan-game-wolf-atau-iq-1.html

·         https://www.youtube.com/watch?v=OZO6C3POlIs&t=10s

·         http://aksesdataseru.blogspot.com/2013/06/game-tes-logika-game-logic-wolf-sheep.html#ixzz4PsKDAd26

8. REPRESENTASI PENGETAHUAN: LOGIKA PREDIKAT

8.1 Fungsi-Fungsi Logika Predikat

Logika predikat sebenarnya adalah logika proposional ditambah dengan hal-hal baru seperti kuantor, universe of discourse, term, predikat dan fungsi dengan masalah pengkuantoran dan menambah istilah-istilah baru.

Istilah dalam Logika Predikat:

• Term : kata benda atau subjek

• Predikat : properti dari term

• Fungsi proposisional=fungsi

• Kuantor

– Universal: yang selalu bernilai benar (∀).

– Eksistensial: bisa bernilai benar atau salah(∃).

Contoh Logika Predikat:

• Nani adalah ibu dari Ratna.

• Term=nani , ratna

• Predikat=adalah ibu dari

• Fungsi=ibu(nani,ratna) ; M(n,r)

Bentuk logika predikat:

M(n,r)→¬M(r,n)

8.2 Logika dan Set Order Pertama

Disebut juga kalkulus predikat, merupakan logika yang digunakan untuk merepresentasikan masalah yang tidak dapat direpresentasikan dengan menggunakan proposisi.

• Logika predikat dapat memberikan representasi fakta-fakta sebagai suatu pernyataan yang mapan (well form).

• Syarat-syarat symbol dalam logika predikat :

– himpunan huruf, baik huruf kecil maupun huruf besar dalam abjad.

– himpunan digit (angka) 0,1,2,…9

– garis bawah “_”

– simbol-simbol dalam logika predikat dimulai dengan sebuah huruf dan diikuti oleh sembarang rangkaian karakter-karakter yang diijinkan.

– simbol-simbol logika predikat dapat merepresentasikan variable, konstanta, fungsi atau predikat.

• Konstanta : objek atau sifat dari semesta pembicaraan.

Penulisannya diawali dengan huruf kecil, seperti : pohon, tinggi. Konstanta true (benar) dan false (salah) adalah simbol kebenaran (truth simbol).

• Variable : digunakan untuk merancang kelas objek atau sifat-sifat secara umum dalam semesta pembicaraan. Penulisannya diawali dengan huruf besar, seperti : Bill, Kate.

• Fungsi : pemetaan (mapping) dari satu atau lebih elemen dalam suatu himpunan yang disebut domain fungsi ke dalam sebuah elemen unik pada himpunan lain yang disebut range fungsi. Penulisannya dimulai dengan huruf kecil. Suatu ekspresi fungsi merupakan symbol fungsi yang diikuti argument.

• Argument adalah elemen-elemen dari fungsi, ditulis diapit tanda kurung dan dipisahkan dengan tanda koma.

• Predikat : menamai hubungan antara nol atau lebih objek dalam semesta pembicaraan. Penulisannya dimulai dengan huruf kecil, seperti : equals, sama dengan, likes, near.

8.3 Quantifier Universal

Dalam logika predikat , kuantifikasi universal merupakan jenis quantifier , sebuah konstanta logis yang ditafsirkan sebagai "diberi" atau "untuk semua". Ini mengungkapkan bahwa fungsi proposisi dapat dipenuhi oleh setiap anggota dari domain wacana. Dalam istilah lain, itu adalah predikasi dari properti atau hubungan dengan setiap anggota domain. Ini menegaskan bahwa predikat dalam lingkup dari quantifier universal benar dari setiap nilai dari variabel predikat .

Hal ini biasanya dilambangkan dengan berbalik A (∀) operator logika simbol , yang bila digunakan bersama-sama dengan variabel predikat, disebut quantifier universal  ("∀x", "∀ (x)", atau kadang-kadang dengan "(x) "saja). Kuantifikasi Universal berbeda dari kuantifikasi eksistensial ("ada ada"), yang menegaskan bahwa properti atau relasi hanya berlaku untuk setidaknya satu anggota dari domain.

• Contoh 1 :

(∀x) (x + x = 2x)

“untuk setiap x (dimana x adalah suatu bilangan), kalimat x + x = 2x adalah benar.”

• Contoh 2 :

(∀x) (p) (Jika x adalah seekor kucing -> x adalah binatang).

Kebalikan kalimat “bukan kucing adalah binantang” ditulis :

(∀x) (p) (Jika x adalah seekor kucing -> ~x adalah binatang)

dan dibaca :

- “setiap kucing adalah bukan binantang”

-“semua kucing adalah bukan binantang”

8.4 Quantifier Existensial

Dalam logika predikat , suatu kuantifikasi eksistensial adalah jenis quantifier , sebuah konstanta logis yang ditafsirkan sebagai "ada ada," "ada setidaknya satu," atau "untuk beberapa." Ini mengungkapkan bahwa fungsi proposisi dapat dipenuhi oleh setidaknya satu anggota dari domain wacana . Dalam istilah lain, itu adalah predikasi dari properti atau hubungan dengan setidaknya satu anggota dari domain. Ini menegaskan bahwa predikat dalam lingkup dari quantifier eksistensial adalah benar dari setidaknya satu nilai dari variabel predikat .

Hal ini biasanya dilambangkan dengan E berubah (∃) operator logika simbol , yang bila digunakan bersama-sama dengan variabel predikat, disebut quantifier eksistensial ("∃x" atau "∃ (x)"). Kuantifikasi eksistensial berbeda dari kuantifikasi universal ("untuk semua"), yang menegaskan bahwa properti atau hubungan berlaku untuk semua anggota domain.

• Contoh 1 :

(∃x) (x . x = 1)

Dibaca : “terdapat x yang bila dikalikan dengan dirinya sendiri hasilnya sama dengan 1.”

• Contoh 2 :

(∃x) (gajah(x) ∧ nama(Clyde))

Dibaca : “beberapa gajah bernama Clyde”.

8.5 Resolusi Logika Predikat

Resolusi pada logika predikat pada dasarnya sama dengan resolusi pada logika proposisi, hanya saja ditambah dengan unifikasi.Pada logika predikat, prosedur untuk membuktikan pernyataan P dengan beberapa pernyataan F yang telah diketahui, dengan menggunakan resolusi, dapat dilakukan melalui algoritma sebagai berikut :

1.      Konversikan semua proposisi F ke bentuk klausa

2.      Negasikan P, dan konversikan hasil negasi tersebut ke bentuk klausa.Tambahkan   kehimpunan klausa yang telah ada pada langkah

3.      Kerjakan hingga terjadi kontradiksi atau proses tidak mengalami kemajuan :

o   Seleksi 2 klausa sebagai klausa parent

o   Bandingkan (resolve) secara bersama-sama. Klausa hasil resolve tersebut  resolvent. Jika ada pasangan literal T dan ¬T2 sedemikian hingga keduanya dapat dilakukan unifikasi, maka salah satu T1 dan T2 disebut sebagai complementary literal. Jika ada lebih dari 1 complementary literal, maka hanya sepasang yang dapat meninggalkan resolvent

o   Jika resolvent berupa klausa kosong, maka ditemukan kontradiksi. Jika tidak, tambahkan ke himpunan klausa yang telah ada

Contoh kasus :

Misalkan terdapat pernyataan-pernyataan sebagai berikut :

1.      Andi adalah seorang mahasiswa

2.      Andi masuk Jurusan Elektro

3.      Setiap mahasiswa elektro pasti mahasiswa teknik

4.      Kalkulus adalah matakuliah yang sulit

5.      Setiap mahasiswa teknik pasti akan suka kalkulus atau akan membencinya

6.      Setiap mahasiswa pasti akan suka terhadap suatu matakuliah

7.      Mahasiswa yang tidak pernah hadir pada kuliah matakuliah sulit, maka mereka pasti tidak suka terhadap matakuliah tersebut

8.      Andi tidak pernah hadir kuliah matakuliah kalkulus

Maka harus terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk klausa sebagai berikut :

1. Mahasiswa (Andi)

2. Elektro (Andi)

3. ¬ Elektro (x1) v Teknik (v1)

4. Sulit (Kalkulus)

5. ¬Teknik (x2) v suka (x2, Kalkulus) v benci (x2, Kalkulus)

6. Suka (x3, f1 (x3))

7. ¬Mahasiswa (x4) v ¬ sulit (y1) v hadir (x4, y1) v ¬ suka (x4, y1)

8. ¬Hadir (Andi, Kalkulus)

REFERENSI:

·         sandimcs.blogspot.com/2014/05/logika-predikat.html

·         http://afifrahma.blogspot.co.id/2013/01/resolusi-untuk-logika-predikat.html

·         http://bagusnunu.blogspot.co.id/2014/09/representasi-pengetahuan.html

7. REPRESENTASI PENGETAHUAN: LOGIKA PROPOSISI

7.1 Logika dan Set

Representasi pengetahuan dengan symbol logika merupakan bagian dari penalaran eksak.Merupakan bagian yang paling penting dalam penalaran adalah mengambil kesimpulan dari premis. Dan Logika dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles (abad ke 4 SM) didasarkan pada silogisme, dengan dua premisdan satu konklusi.

Contoh :

– Premis : Semua wanita adalah makhluk hidup

– Premis : Milan adalah wanita

– Konklusi : Milan adalah makhluk hidup

Cara lain merepresentasikan pengetahuan adalah dengan Diagram Venn.

Diagram Venn merepresentasikan sebuah himpunan yang merupakan kumpulan objek. Objek dalam himpunan disebut elemen.

A ={1,3,5,7} ,  B = {….,-4,-2,0,2,4,…..} ,  C = {pesawat, balon}

Symbol epsilon ε menunjukkan bahwa suatu elemen merupakan anggota dari suatu himpunan, contoh : 1 ε A . Jika suatu elemen bukan anggota dari suatu himpunan maka symbol yang digunakan ∉, contoh : 2 ∉ A.Jika suatu himpunan sembarang, misal X dan Y didefinisikan bahwa setiap elemen X merupakan elemen Y, maka X adalah subset dari Y, dituliskan : X ⊂ Y atau Y ⊃ X.

Operasi-operasi Dasar dalam Diagram Venn:

– Interseksi (Irisan)

C = A ∩ B C = {x ∈ U | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

Dimana : ∩ menyatakan irisan himpunan | dibaca “sedemikian hingga” ∧ operator logika AND

– Union (Gabungan)

C = A ∪ B C = {x ∈ U | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Dimana : ∪ menyatakan gabungan himpunan  operator logika OR

– Komplemen

A’ = {x ∈ U | ~(x ∈ A) }

Dimana : ’ menyatakan komplemen himpunan ~ operator logika NOT

7.2 Operator Logika

            Suatu Proposisi merupakan suatu statemen atau pernyataan yang menyatakan benar (TRUE) atau salah (FALSE). Dalam Propositional Logic fakta dilambangkan dengan simbol misalnya P, Q dan R. Lambang-lambang tersebut dihubungkan dengan relasi-relasi logika

Dengan menggunakan operator logika:

Tabel Kebenaran Logika

Contoh Logika Proposisi                :

Contoh Proposisi	Nilai
Ibukota Jawa Timur adalah Surabaya	TRUE
100 > 90	TRUE
Mata uang Indonesia adalah Dollar	FALSE

7.3 Tautologi, Kontradiksi, dan Contingent

Ø  Tautologi

Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.

Example :

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.

Jawab : Diubah ke variabel proposisional :

A = Tono pergi kuliah

B = Tini pergi kuliah

C = Siska tidur

Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan logika 3 adalah kesimpulan.

1.      A → B (premis)

2.      C → B (premis)

3.      (A v C)→B (kesimpulan)

Selanjutnya, dapat ditulis dan buatlah tabel kebenarannya dari ekspresi logika tersebut :

((A → B) ^ (C → B)) → ((A v C) → B)

A	B	C	A→B	C→B	(A→B)^(C→B)	AvC	(AvC)→B
F	F	F	T	T	T	F	T	T
F	F	T	T	F	F	T	F	T
F	T	F	T	T	T	F	T	T
F	T	T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	T	F	T
T	F	T	F	F	F	T	F	T
T	T	F	T	T	T	T	T	T
T	T	T	T	T	T	T	T	T

Jadi ekspresi logika diatas adalah tautology karena pada table kebenarannya semua pasangannya menghasilkan nilai T dan argument tersebut valid.

Ø  Kontradiksi

Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenarannya dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

Example :

Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut dan buat tabel kebenarannya:

((A v B) ^ ¬A) ^ ¬B

A	B	¬A	¬B	(A v B)	((A v B) ^ ¬A)
F	F	T	T	F	F
F	T	T	F	T	T
T	F	F	T	T	F
T	T	F	F	T	F

Jadi, ekspresi logika di atas terjadi kontradiksi.

Ø  Contingent

Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

Example :

Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut dan buat tabel kebenarannya:

((A ^ B) → C) → A

A	B	C	A ^ B	(A ^ B) → C
F	F	F	F	T	F
F	F	T	F	T	F
F	T	F	F	T	F
F	T	T	F	T	F
T	F	F	F	T	T
T	F	T	F	T	T
T	T	F	T	F	T
T	T	T	T	T	T

Nilai-nilai kebenaran pada nilai kebenaran sebagai hasil akhir di tabel kebenaran tidak harus selalu berurutan antara  F dan T, yang penting ada T dan ada F.

7.4 Resolusi Logika Proposisi

Resolusi merupakan suatu teknik pembuktian yang lebih efisien, sebab fakta-fakta yang akan dioperasikan terlebih dahulu dibawa ke bentuk standar yang sering disebut dengan nama klausa. Pembuktian suatu pernyataan menggunakan resolusi ini dilakukan dengan cara menegasikan pernyataan tersebut, kemudian dicari kontradiksinya dari pernyataan-pernyataan yang sudah ada.

Resolusi adalah suatu aturan untuk melakukan inferensi yang dapat berjalan secara efisien dalam suatu bentuk khusus conjunctive normal form (CNF). Pada logika proposisi, prosedur untuk membuktikan proposisi P dengan beberapa aksioma F yang telah diketahui, dengan menggunakan resolusi.

Algoritma resolusi :

(1) Konversikan semua proposisi F ke bentuk CNF.

(2) Negasikan P, dan konversikan hasil negasi tersebut ke bentuk klausa. Tambahkan ke himpunan klausa yang telah ada pada langkah 1.

(3) Kerjakan hingga terjadi kontradiksi atau proses tidak mengalami kemajuan :

a. Seleksi 2 klausa sebagai klausa parent.

b. Bandingkan (resolve) secara bersama-sama. Klausa hasil resolve tersebut dinamakan resolvent. Jika ada pasangan literal L dan ￢L, eliminir dari resolvent.

c. Jika resolvent berupa klausa kosong, maka ditemukan kontradiksi. Jika tidak, tambahkan ke himpunan klausa yang telah ada.

Contoh apabila diterapkan dalam kalimat:

P : Andi anak yang cerdas.

Q : Andi rajin belajar.

R : Andi akan menjadi juara kelas.

S : Andi makannya banyak.

T : Andi istirahatnya cukup.

Kalimat yang terbentuk (basis pengetahuan) menjadi :

1. P : Andi anak yang cerdas.

2. (P ∧ Q) → R : Jika Andi anak yang cerdas dan Andi rajin belajar, maka Andi akan menjadi juara kelas.

3. (S ∨ T) → Q : Jika Andi makannya banyak atau Andi istirahatnya cukup, maka Andi rajin belajar.

4. T : Andi istirahatnya cukup.

Setelah dilakukan konversi ke bentuk CNF, didapat:

1. P : Andi anak yang cerdas.

2. ￢P ∨ ￢Q ∨ R : Andi tidak cerdas atau Andi tidak rajin belajar atau Andi akan menjadi juara kelas.

3. ￢S ∨ Q : Andi tidak makan banyak atau Andi rajin belajar.

4. ￢T ∨ Q : Andi tidak cukup istirahat atau Andi rajin belajar.

REFERENSI:

·         http://dediapry.blogspot.co.id/2010/12/tautologi-kontradiksi-contingent.html

·         ogi01.blogspot.com/2014/04/logika-proposisi-konjungsi-disjungsi.html

·         http://slametgo-blog.blogspot.co.id/2016/01/resolusi-logika-proposisi.html